Küsimus:
Poissoni ja eksponentsiaalse jaotuse suhe
user862
2010-08-25 13:33:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Poissoni jaotuse ooteaeg on eksponentsiaalne jaotus parameetriga lambda. Aga ma ei saa sellest aru. Poisson modelleerib saabujate arvu näiteks ajaühikus. Kuidas on see seotud eksponentsiaalse jaotusega? Oletame, et k saabumise tõenäosus ajaühikus on P (k) (modelleeritud poissoni järgi) ja k + 1 tõenäosus on P (k + 1). Kuidas modelleerib eksponentsiaaljaotus nende vahelist ooteaega?

Poissoni * jaotusel * ei ole ooteaegu.Need on Poissoni protsessi omadus.
Vaadake ka [siin] (http://www.csee.usf.edu/~kchriste/tools/poisson.pdf) paremat selgitust nende kahe jaotuse erinevuse kohta.
Viis vastused:
#1
+82
user28
2010-08-25 14:43:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kasutan järgmist märget, et see oleks vikiga võimalikult kooskõlastatud (juhul, kui soovite minu vastuse ja poissoni ja eksponentsiaalse wiki definitsioonide vahel edasi-tagasi liikuda).)

$ N_t $: saabunute arv ajavahemikul $ t $

$ X_t $: aeg, mis kulub ühe täiendava saabumise saabumiseks eeldusel, et keegi saabus ajal $ t $

Definitsiooni järgi on järgmised tingimused samaväärsed:

$ (X_t > x) \ equiv (N_t = N_ {t + x}) $

Vasakpoolne sündmus kajastab sündmust, mida keegi pole ajavahemikus $ [t, t + x] $ saabunud, mis tähendab, et meie saabumiste arv ajahetkel $ t + x $ on identne arvuga $ t $, mis on paremal asuv sündmus.

Komplemendi reegli järgi on meil ka:

$ P (X_t \ le x) = 1 - P (X_t > x) $

Kasutades kahe ülalkirjeldatud sündmuse samaväärsust, võime ülaltoodu uuesti kirjutada järgmiselt:

$ P (X_t \ le x ) = 1 - P (N_ {t + x} - N_t = 0) $

Kuid,

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = P (N_x = 0) $

Kasutades ülaltoodud poissoni pmf, kus $ \ lambda $ on keskmine saabumiste arv ajaühikus ja $ x $ ajaühikute arv, lihtsustades järgmist:

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = \ frac {(\ lambda x) ^ 0} {0!} e ^ { - \ lambda x} $

st

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = e ^ {- \ lambda x} $

Asendades meie algse ekvn, on meil:

$ P (X_t \ le x) = 1 - e ^ {- \ lambda x} $

Ülaltoodud on cdf eksponentsiaalse pdf-i.

Ok, see teeb selle selgeks. Eksponentsiaalset pdf-i saab kasutada ooteaja modelleerimiseks kahe järjestikuse poissoni tabamuse vahel, samal ajal kui poisson modelleerib tabamuste arvu tõenäosust. Poisson on diskreetne, eksponentsiaal aga pidevjaotus. Huvitav oleks näha tõelist näidet, kus mõlemad mängivad korraga.
Ah?kas $ t $ on ** hetk ** ajas või ** ajavahemik **?
Pange tähele, et poissoni jaotus ei tähenda automaatselt eksponentsiaalset pdf-faili sündmuste vaheliste ooteaegade jaoks.See arvestab ainult olukordi, kus teate, et poissoni protsess töötab.Kuid peate tõestama poissoni jaotuse olemasolu ja eksponentsiaalse pdf-i olemasolu, et näidata, et poissoni protsess on sobiv mudel!
@CodyBugstein Both: on need selles kontekstis omavahel asendatavad.Saabumised on üksteisest sõltumatud, mis tähendab, et pole vahet, milline on aja nihe.Ajavahemik ajavahemikust "0" kuni ajani "t" võrdub mis tahes ajavahemikuga "t".
@user862: See on täpselt analoog sageduse ja lainepikkuse vahelise seosega.Pikem lainepikkus;madalam sagedus analoogselt: pikema ooteajaga;madalam eeldatav saabujate arv.
@CodyBugstein Kui t on "ajaperiood", on see intervall [0, t], st ajavahemik hetkest 0 hetkeni t.
#2
+40
George Dontas
2010-08-25 15:58:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Poissoni protsessi puhul esinevad tabamused juhuslikult minevikust sõltumata, kuid teadaoleva pikaajalise keskmise kiirusega $ \ lambda $ tabamust ajaühikus. Poissoni jaotus võimaldaks meil leida tõenäosuse saada teatud arv tabamusi.

Nüüd vaatame tabamuste arvu asemel juhuslikku muutujat $ L $ (eluaegne), aeg, mida peate ootama esimest tabamust.

Tõenäosus, et ooteaeg on suurem kui antud ajaväärtus, on $ P (L \ gt t) = P (\ text {pole tabamusi ajas t}) = \ frac {\ Lambda ^ 0e ^ {- \ Lambda}} {0!} = e ^ {- \ lambda t} $ (Poissoni jaotuse järgi, kus $ \ Lambda = \ lambda t $ ).

$ P (L \ le t) = 1 - e ^ {- \ lambda t} $ (kumulatiivne jaotusfunktsioon). Tihedusfunktsiooni saame, kui võtta selle tuletis:

$$ f (t) = \ begin {cases} \ lambda e ^ {- \ lambda t} & \ mbox {for} t \ ge 0 \\ 0 & \ mbox {for} t \ lt 0 \ end {cases} $$

Mis tahes juhuslik muutuja, millel on tihedus niimoodi öeldakse, et see on eksponentsiaalselt jaotatud.

Mulle meeldis selgitus $ P (L> t) = P $ * (tabamusi pole ajal a). See oli minu jaoks mõistlik.
Veel üks punkt: 1 ühiku ajaga on $ \ lambda $ tabamust, seega on $ t $ ühiku ajaga tabamust $ \ lambda t $.
#3
+6
user2024015
2017-08-11 06:51:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Teised vastused selgitavad matemaatikat hästi. Ma arvan, et see aitab kaaluda füüsilist näidet. Mõeldes Poissoni protsessile, tulen alati tagasi ideele, et autod sõidavad mööda teed. Lambda on keskmine möödasõitvate autode arv ajaühikus, oletame, et 60 / tunnis (lambda = 60). Teame siiski, et tegelik arv varieerub - mõni päev rohkem, mõni vähem. Poissoni jaotus võimaldab meil seda varieeruvust modelleerida.

Nüüd võrdub keskmiselt 60 autot tunnis keskmiselt ühe minutis mööduva autoga. Jällegi teame, et saabumiste vaheline aeg võib varieeruda: mõnikord üle 1 minuti; teinekord vähem. Eksponentsiaalne jaotus võimaldab meil seda varieeruvust modelleerida.

Kõike öeldes ei järgi maanteel mööduvad autod alati Poissoni protsessi. Näiteks kui nurga taga on näiteks liiklussignaal, hakatakse saabujaid stabiilsuse asemel kokku pakkima. Avatud maanteel võib aeglane traktorhaagis mahutada pika autode rea, põhjustades jällegi kobarat. Nendel juhtudel võib Poissoni levitamine töötada pikema aja jooksul endiselt korras, kuid eksponentsiaal ebaõnnestub saabumisaja modelleerimisel halvasti.

Pange tähele ka seda, et kellaaegade järgi on tohutult kõikuv: pendelrände ajal hõivatud; palju aeglasemalt kell 3 hommikul. Veenduge, et teie lambda kajastaks konkreetset ajaperioodi, mida kaalute.

#4
+4
Stuart Winter
2012-04-23 14:54:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Poissoni jaotus on tavaliselt tuletatud binoomjaotusest (mõlemad diskreetsed). Selle leiate Wikist.

Poissoni jaotuse (diskreetne) võib tuletada aga ka eksponentsiaalsest jaotusest (pidev).

Lisasin tõendi Wikisse (allpool olev link):

https://et.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

seos diskreetse ja pideva vahel ei olnud ilmne, aitäh selle eest!
Mind ei veena see vikipeedia lahendus.Eelkõige sisaldavad kõrgema järgu arvutused integraalide piiranguid, mis sisaldavad termineid "1-x-y", millest ma (vähemalt praegu) aru ei saa.Autorite termin "p (0; lambda)" ei näi andvat sama vastust, kui siin kasutatav integraal asendatakse sõnaga "1-int", kus "int" on veel üks integraal, mille piirid on vahemikus [0,1]."asemel" [1, + inf] ".Olen selle kallal töötanud umbes nädala ja pole eriti edasi arenenud.
#5
+1
Ben
2020-05-27 07:16:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ehkki teised siinsed vastused lähevad üksikasjalikumalt, annan teile lihtsa kokkuvõtte võrrandist, mis käsitleb IID eksponentsiaalsete juhuslike muutujate kogumit ja genereeritud Poissoni juhuslikku muutujat. Poissoni juhusliku muutuja parameetriga $ \ lambda > 0 $ saab genereerida, lugedes aja jooksul toimuvate järjestikuste sündmuste arvu $ \ lambda / \ eta $ kus sündmuste vahelised ajad on sõltumatud eksponentsiaalsed juhuslikud muutujad kiirusega $ \ eta $ . (Seadistades $ \ eta = 1 $ , saate lihtsa võimaluse luua Poissoni juhuslik muutuja IID üksuse eksponentsiaalsete juhuslike muutujate seeriast.)

See tähendab, et kui $ E_1, E_2, E_3, ... \ sim \ text {Exp} (\ eta) $ määraparameetriga $ \ eta>0 $ ja $ K \ sim \ text {Pois} (\ lambda) $ määraparameetriga $ \ lambda>0 $ , siis on teil olemas:

$$ \ mathbb {P} (K \ geqslant k) = \ mathbb {P} \ Big (E_1 + \ cdots + E_k \ leqslant \ frac {\ lambda} {\ eta} \ suur). $$



See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 2.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...