Kasutan järgmist märget, et see oleks vikiga võimalikult kooskõlastatud (juhul, kui soovite minu vastuse ja poissoni ja eksponentsiaalse wiki definitsioonide vahel edasi-tagasi liikuda).)
$ N_t $: saabunute arv ajavahemikul $ t $
$ X_t $: aeg, mis kulub ühe täiendava saabumise saabumiseks eeldusel, et keegi saabus ajal $ t $
Definitsiooni järgi on järgmised tingimused samaväärsed:
$ (X_t > x) \ equiv (N_t = N_ {t + x}) $
Vasakpoolne sündmus kajastab sündmust, mida keegi pole ajavahemikus $ [t, t + x] $ saabunud, mis tähendab, et meie saabumiste arv ajahetkel $ t + x $ on identne arvuga $ t $, mis on paremal asuv sündmus.
Komplemendi reegli järgi on meil ka:
$ P (X_t \ le x) = 1 - P (X_t > x) $
Kasutades kahe ülalkirjeldatud sündmuse samaväärsust, võime ülaltoodu uuesti kirjutada järgmiselt:
$ P (X_t \ le x ) = 1 - P (N_ {t + x} - N_t = 0) $
Kuid,
$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = P (N_x = 0) $
Kasutades ülaltoodud poissoni pmf, kus $ \ lambda $ on keskmine saabumiste arv ajaühikus ja $ x $ ajaühikute arv, lihtsustades järgmist:
$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = \ frac {(\ lambda x) ^ 0} {0!} e ^ { - \ lambda x} $
st
$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = e ^ {- \ lambda x} $
Asendades meie algse ekvn, on meil:
$ P (X_t \ le x) = 1 - e ^ {- \ lambda x} $
Ülaltoodud on cdf eksponentsiaalse pdf-i.