Küsimus:
Lähenemine tõenäosuse ja peaaegu kindla lähenemise vahel
raegtin
2010-08-31 08:57:21 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ma pole kunagi nende kahe lähenemisnäitaja vahel tegelikult vahet teinud. (Või tegelikult ühtegi erinevat tüüpi lähenemist, kuid mainin neid kahte eelkõige suurte arvude nõrkade ja tugevate seaduste tõttu.)

Muidugi võin tsiteerida igaühe määratlust ja tooge näide, kus need erinevad, aga ma ei saa sellest ikkagi aru.

Mis on hea viis erinevusest aru saada? Miks on erinevus oluline? Kas on mõni eriti meeldejääv näide, kus need erinevad?

Samuti vastus sellele: http://stats.stackexchange.com/questions/72859/is-there-a-statistical-application-that-requires-strong-consistency
[Kas on olemas statistilist rakendust, mis nõuab tugevat järjepidevust?] Võimalik duplikaat (https://stats.stackexchange.com/questions/72859/is-there-a-statistical-application-that-requires-strong-consistency)
Kuus vastused:
#1
+77
Robby McKilliam
2010-08-31 11:53:32 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Minu vaatenurgast on erinevus oluline, kuid suuresti filosoofilistel põhjustel. Oletame, et teil on mõni seade, mis aja jooksul paraneb. Nii et iga kord, kui kasutate seadet, on selle rikke tõenäosus väiksem kui varem.

Tõenäosuse lähenemine ütleb, et ebaõnnestumise tõenäosus läheb nulli, kui kasutuste arv läheb lõpmatusse. Niisiis, pärast seadme mitmel korral kasutamist võite olla väga kindel, et see töötab korralikult, see võib ikkagi ebaõnnestuda, see on lihtsalt väga ebatõenäoline.

Lähenemine on peaaegu kindlasti veidi tugevam. See ütleb, et rikete koguarv on lõplik . See tähendab, et kui lugeda ebaõnnestumiste arv kasutamiste arvuks lõpmatusse, saate lõpliku arvu. Selle mõju on järgmine: Kui kasutate seadet üha enam, ammendate pärast mõningast piiritletud kasutamist kõik rikked. Edaspidi töötab seade ideaalselt .

Nagu Srikant märgib, ei tea te tegelikult, millal olete kõik ebaõnnestumised ammendanud, nii et puhtpraktilisest vaatenurgast pole kahel lähenemisviisil suurt vahet.

Kuid isiklikult on mul väga hea meel, et näiteks tugevate seaduste seadus on vastupidiselt lihtsalt nõrgale seadusele. Sest nüüd on teaduslik katse näiteks valguse kiiruse saamiseks õigustatud keskmiste väärtuste võtmisel. Vähemalt teoreetiliselt võite pärast piisavalt andmete saamist meelevaldselt lähedale tõelisele valguskiirusele. Keskmistamisprotsessis ei esine mingeid tõrkeid (ükskõik kui ebatõenäolisi).

Lubage mul selgitada, mida ma mõtlen keskmistamisprotsessi ebaõnnestumiste (kui vähetõenäoline) all. Valige mõni $ \ delta> 0 $ suvaliselt väike. Saate $ n $ hinnanguliselt valguskiirusest (või mõnest muust kogusest) $ X_1, X_2, \ dots, X_n $, millel on mingi tõeline väärtus, ütleme näiteks $ \ mu $. Arvutate keskmise $$ S_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n X_k. $ $ Kui saame rohkem andmeid ($ n $ suureneb), saame arvutada $ S_n $ iga $ n = 1,2, \ dots $ jaoks. Nõrk seadus ütleb (mõnede eelduste korral $ X_n $ kohta), et tõenäosus $$ P (| S_n - \ mu |> \ delta) \ rightarrow 0 $$ kui $ n $ läheb väärtusele $ \ infty $. Tugev seadus ütleb, et kordi, kui $ | S_n - \ mu | $ on suurem kui $ \ delta $, on piiratud (tõenäosusega 1). See tähendab, et kui määratleme indikaatorfunktsiooni $ I (| S_n - \ mu |> \ delta) $, mis tagastab ühe, kui $ | S_n - \ mu | > \ delta $ ja muidu null, siis läheneb $$ \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} I (| S_n - \ mu |> \ delta) $$. See annab teile märkimisväärse kindluse $ S_n $ väärtuse suhtes, sest see tagab (st tõenäosusega 1) mõne piiratud $ n_0 $ olemasolu, nii et $ | S_n - \ mu | < \ delta $ kõigi $ n> n_0 $ puhul (s.t keskmine $ ei nurju väärtuse $ n> n_0 $ korral). Pange tähele, et nõrk seadus sellist garantiid ei anna.

Aitäh, mulle meeldib lõpmatute seeriate vaatepunktide lähenemine!
Ma arvan, et mõtlesite loendatavat ja mitte tingimata lõplikku, kas ma eksin? Või segun integraalidega.
Täpsem on see, et sündmuste komplekt, mis see juhtub (või mitte), on nullmõõduga -> tõenäosus, et null juhtub.
Ma pole kindel, et saan aru argumendist, mis peaaegu kindel annab teile "märkimisväärse enesekindluse".See, et $ n_0 $ on olemas, ei ütle teile, kas olete selleni jõudnud.Lõplik ei tähenda tingimata väikest ega praktiliselt saavutatavat.Iseenesest ei tundu, et tugev seadus ütleb teile, kui olete jõudnud või millal jõuate $ n_0 $ -ni.
#2
+33
user1108
2011-05-20 07:47:18 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ma tean, et sellele küsimusele on juba vastatud (ja minu arvates üsna hästi), kuid siin oli teine ​​küsimus, millel oli kommentaar @NRH, kus mainiti graafilist selgitust ja mitte pane pildid sinna, tundub sobivam neid siia panna.

Nii, siin läheb. See pole nii lahe kui R-pakett. Kuid see on iseseisev ega vaja JSTOR-i tellimust.

Järgnevalt räägime lihtsast juhuslikust käigust, $ X_ {i} = \ pm 1 $ sama tõenäosusega ja arvutame jooksvaid keskmisi, $$ \ frac {S_ {n}} {n} = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} X_ {i}, \ quad n = 1, 2, \ ldots. $$

Strong Law of Large Numbers

SLLN (lähenemine peaaegu kindlasti) ütleb, et võime olla 100% kindlad, et see kõver venib paremal pool jääb teatud ajahetkel lõpuks (paremale) jäädavalt täielikult ribadesse.

Selle graafiku genereerimiseks kasutatud R-kood on allpool (süžee sildid on lühiduse tõttu välja jäetud).

  n <- 1000; m <- 50; e <- 0,05s <- cumsum (2 * (rbinom (n, suurus = 1, prob = 0,5) - 0,5)) graafik (s / seq.int (n), type = "l", ylim = c (- 0,4, 0,4)) joon (h = c (-e, e), lty = 2)  

Weak Law of Large Numbers

WLLN (lähenemine tõenäosus) ütleb, et suur osa valimisradadest asub parempoolses ribas, ajahetkel $ n $ (ülaltoodu jaoks tundub see umbes 48 või 9 50-st). Me ei saa kunagi olla kindlad, et mõni konkreetne kõver on igal piiratud hetkel sees, kuid vaadates selle kohal asuvat nuudlite massi, oleks see üsna kindel panus. WLLN ütleb ka, et saame joonise piisavalt laiaks muutmise abil muuta nuudlite osakaalu nii lähedale ühele kui meile meeldib.

Järgneb graafiku R-kood (jälle jäetakse sildid vahele).

  x <- maatriks (2 * (rbinom (n * m, suurus = 1, prob = 0,5) - 0,5), ncol = m) y <- rakendama (x, 2, funktsioon (z ) cumsum (z) / seq_along (z)) matplot (y, tüüp = "l", ylim = c (-0,4,0,4)) joon (h = c (-e, e), lty = 2, lwd = 2 )
 
#3
+6
user28
2010-08-31 09:39:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ma saan sellest aru järgmiselt.

Tõenäosuse lähenemine

Tõenäosus, et juhuslike muutujate jada võrdub sihtväärtusega, väheneb asümptootiliselt ja läheneb 0, kuid ei saavuta tegelikult kunagi 0.

Peaaegu kindel lähenemine

Juhuslike muutujate jada võrdub asümptootiliselt sihtväärtusega, kuid te ei oska ennustada, millises punktis see juhtub.

Peaaegu kindel lähenemine on juhuslike muutujate jada käitumise tugevam tingimus, sest see ütleb, et "midagi kindlasti juhtub" (me lihtsalt ei tea, millal). Seevastu tõenäosuse konvergents väidab, et "kuigi midagi tõenäoliselt juhtub", väheneb "millegi mitte toimumise" tõenäosus asümptootiliselt, kuid ei jõua kunagi 0-ni. (Midagi > $ \ equiv $ jada juhuslikke muutujaid, mis koonduvad kindla väärtusega).

wikil on mõned näited mõlemast, mis peaksid aitama ülaltoodut selgitada (vt eriti vibulaskja näidet prob lähenemise kontekstis ja heategevuse näidet peaaegu kindla lähenemise kontekst).

Praktilisest vaatepunktist piisab tõenäosuse lähenemisest, kuna me ei hooli eriti ebatõenäolistest sündmustest. Näiteks on hindaja järjepidevus sisuliselt tõenäosuse lähenemine. Seega tunnistame järjepidevat hinnangut kasutades kaudselt fakti, et suurtes valimites on väga väike tõenäosus, et meie hinnang on tegelikust väärtusest kaugel. Elame selle lähenemise tõenäosuse "defektiga", kuna teame, et asümptootiliselt on tõenäosus, et hinnanguline on tõest kaugel, kaduvväike.

Proovitud redaktor väidab, et see peaks olema järgmine: "Tõenäosus, et juhuslike muutujate jada * ei võrdu * sihtväärtusega ...".
"Tõenäosus, et juhuslike muutujate jada võrdub sihtväärtusega, väheneb asümptootiliselt ja läheneb 0-le, kuid ei saavuta kunagi 0." Kas see ei peaks VÕI kunagi saavutada 0?
@gung Tõenäosus, et see võrdub sihtväärtusega, läheneb väärtusele 1 või tõenäosus, et see ei võrdu sihtväärtusega, läheneb väärtusele 0. Praegune määratlus on vale.
#4
+5
Kingsford Jones
2010-09-01 05:00:39 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kui teile meeldivad visuaalsed selgitused, oli Ameerika statistikast selle teema kohta kena artikkel "Õpetaja nurk" (tsiteerige allpool). Boonusena lisasid autorid õppimise hõlbustamiseks R paketi.

  @article {lafaye09, title = {Konverentsikontseptsioonide mõistmine: visuaalselt mõtlev ja graafiline simulatsioon -Based Approach}, autor = {Lafaye de Micheaux, P. ja Liquet, B.}, ajakiri = {The American Statistician}, maht = {63}, number = {2}, leheküljed = {173-178}, aasta = {2009}, kirjastaja = {ASA}}  
#5
+1
Tim Brown
2012-09-14 13:10:29 UTC
view on stackexchange narkive permalink

See viimane tüüp seletab seda väga hästi. Kui võtta juhuslike muutujate jada Xn = 1 tõenäosusega 1 / n ja muidu null. On lihtne näha piiride võtmist, et see läheneb tõenäosusega nullile, kuid ei suuda peaaegu kindlalt läheneda. Nagu ta ütles, ei huvita tõenäosus, et võime ühe teele saada. Peaaegu kindlasti.

See tähendab peaaegu kindlasti tõenäosuse lähenemist, kuid mitte vastupidi jah?

Tere tulemast saidile, @Tim-Brown,, hindame teie abi siin küsimustele vastamisel. Üks asi, mida tuleb märkida, on see, et kõige parem on teisi vastuseid tuvastada vastaja kasutajanime järgi, "see viimane tüüp" pole eriti tõhus. Nt loend järjestatakse aja jooksul ümber, kui inimesed hääletavad. Võite lugeda meie [KKK] (http://stats.stackexchange.com/faq).
#6
  0
Sebastian
2018-01-23 13:52:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Üks asi, mis aitas mul erinevusest aru saada, on järgmine samaväärsus

$ P ({\ lim_ {n \ to \ infty} | X_n-X | = 0}) = 1 \ Leftarrow \ Rightarrow \ lim_ {n \ to \ infty} ({\ sup_ {m> = n} |X_m-X | > \ epsilon}) = 0 $ $ \ kogu \ epsilon > 0 $

Võrdluseks stohhastiline lähenemine:

$ \ lim_ {n \ to \ infty} P (| X_n-X | > \ epsilon) = 0 $ $ \ forall \ epsilon >0 $

Kui võrrelda ülemise ekvivlenssi paremat külge stohhastilise konvergentsiga, saab erinevus minu arvates selgemaks.



See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 2.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...